Глава 3. Элементы математической статистики

Математическая статистика - раздел математики, посвященный математическим методам обработки, систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

В медико-биологических задачах часто приходится исследовать распределение того или иного признака для очень большого числа индивидуумов. У разных индивидуумов этот признак имеет различное значение, поэтому он является случайной величиной. Например, любой лечебный препарата имеет различную эффективность при его применении к разным пациентам. Однако для того чтобы составить представление об эффективности данного препарата, нет необходимости применять его ко всем больным. Можно проследить результаты применения препарата к сравнительно небольшой группе больных и на основании полученных данных выявить существенные черты (эффективность, противопоказания) процесса лечения.

Генеральная совокупность - подлежащая изучению совокупность однородных элементов, характеризуемых некоторым признаком. Этот признак является непрерывной случайной величиной с плотностью распределения f(x).

Например, если нас интересует распространенность какого-либо заболевания в некотором регионе, то генеральная совокупность - все население региона. Если же мы хотим выяснить подверженность этому заболеванию мужчин и женщин по отдельности, то следует рассматривать две генеральные совокупности.

Для изучения свойств генеральной совокупности отбирают некоторую часть ее элементов.

Выборка - часть генеральной совокупности, выбираемая для обследования (лечения).

Если это не вызывает недоразумений, то выборкой называют как совокупность объектов, отобранных для обследования, так и совокупность

значений исследуемого признака, полученных при обследовании. Эти значения могут быть представлены несколькими способами.

Простой статистический ряд - значения исследуемого признака, записанные в том порядке, в котором они были получены.

Пример простого статистического ряда, полученного при измерении скорости поверхностной волны (м/с) в коже лба у 20 пациентов приведен в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Простой статистический ряд

Простой статистический ряд - основной и самый полный способ записи результатов обследования. Он может содержать сотни элементов. Окинуть такую совокупность одним взглядом весьма затруднительно. Поэтому большие выборки обычно подвергают разбиению на группы. Для этого область изменения признака разбивают на несколько (N) интервалов равной ширины и подсчитывают относительные частоты (n/n) попадания признака в эти интервалы. Ширина каждого интервала равна:

Границы интервалов имеют следующие значения:

Если какой-то элемент выборки является границей между двумя соседними интервалами, то его относят к левому интервалу. Сгруппированные таким образом данные называют интервальным статистическим рядом.

Интервальный статистический ряд - это таблица, в которой приведены интервалы значений признака и относительные частоты попадания признака в эти интервалы.

В нашем случае можно образовать, например, такой интервальный статистический ряд (N = 5, d = 4), табл. 3.2.

Таблица 3.2. Интервальный статистический ряд

Здесь к интервалу 28-32 отнесены два значения равные 28 (табл. 3.1), а к интервалу 32-36 - значения 32, 33, 34 и 35.

Интервальный статистический ряд можно изобразить графически. Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы значений признака и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой, равной относительной частоте. Полученная столбцовая диаграмма называется гистограммой.

Рис. 3.1. Гистограмма

На гистограмме статистические закономерности распределения признака просматриваются достаточно отчетливо.

При большом объеме выборки (несколько тысяч) и малой ширине столбцов форма гистограммы близка к форме графика плотности распределения признака.

Число столбцов гистограммы можно выбрать по следующей формуле:

Построение гистограммы вручную - процесс долгий. Поэтому разработаны компьютерные программы для их автоматического построения.

3.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА

Многие статистические процедуры используют выборочные оценки для математического ожидания и дисперсии (или СКО) генеральной совокупности.

Выборочное среднее (Х) - это среднее арифметическое всех элементов простого статистического ряда:

Для нашего примера Х = 37,05 (м/с).

Выборочное среднее - это наилучшая оценка генерального среднего М.

Выборочная дисперсия s² равна сумме квадратов отклонений элементов от выборочного среднего, поделенной на n - 1:

В нашем примере s² = 25,2 (м/с)².

Обратите внимание, что при вычислении выборочной дисперсии в знаменателе формулы стоит не объем выборки n, а n-1. Это связано с тем, что при вычислении отклонений в формуле (3.3) вместо неизвестного математического ожидания используется его оценка - выборочное среднее.

Выборочная дисперсия - это наилучшая оценка генеральной дисперсии (σ²).

Выборочное среднеквадратическое отклонение (s) - это квадратный корень из выборочной дисперсии:

Для нашего примера s = 5,02 (м/с).

Выборочное среднеквадратическое отклонение - это наилучшая оценка генерального СКО (σ).

При неограниченном увеличении объема выборки все выборочные характеристики стремятся к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.

Для вычисления выборочных характеристик используют компьютерные формулы. В приложении Excel эти вычисления выполняют статистические функции СРЗНАЧ, ДИСП. СТАНДОТКЛОН.

3.3. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА

Все выборочные характеристики являются случайными величинами. Это означает, что для другой выборки того же объема значения выборочных характеристик получатся другими. Таким образом, выборочные

характеристики являются лишь оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности.

Недостатки выборочного оценивания компенсирует интервальная оценка, представляющая числовой интервал, внутри которого с заданной вероятностью Р_д находится истинное значение оцениваемого параметра.

Пусть U_r - некоторый параметр генеральной совокупности (генеральное среднее, генеральная дисперсия и т.д.).

Интервальной оценкой параметра U_r называется интервал (U₁, U₂), удовлетворяющий условию:

P(U < Ur < U2) = Рд. (3.5)

Вероятность Р_д называется доверительной вероятностью.

Доверительная вероятность Рд - вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины находится внутри указанного интервала.

При этом интервал (U₁, U₂) называется доверительным интервалом для оцениваемого параметра.

Часто вместо доверительной вероятности используют связанную с ней величину α = 1 - Р_д, которая называется уровнем значимости.

Уровень значимости - это вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра находится за пределами доверительного интервала.

Иногда α и Р_д выражают в процентах, например, 5% вместо 0,05 и 95% вместо 0,95.

При интервальном оценивании сначала выбирают соответствующую доверительную вероятность (обычно 0,95 или 0,99), а затем находят соответствующий интервал значений оцениваемого параметра.

Отметим некоторые общие свойства интервальных оценок.

1. Чем ниже уровень значимости (чем больше Р_д), тем шире интервальная оценка. Так, если при уровне значимости 0,05 интервальная оценка генерального среднего есть 34,7 < М < 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < М < 40,25.

2. Чем больше объем выборки n, тем уже интервальная оценка с выбранным уровнем значимости. Пусть, например, 5 - процентная оценка генеральной средней (β=0,05), полученная по выборке из 20 элементов, тогда 34,7 < М < 39,4.

Увеличив объем выборки до 80, мы при том же уровне значимости получим более точную оценку: 35,5 < М < 38,6.

В общем случае построение надежных доверительных оценок требует знания закона, по которому оцениваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности. Рассмотрим, как строится интервальная оценка генерального среднего признака, который распределен в генеральной совокупности по нормальному закону.

3.4. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНОГО СРЕДНЕГО ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Построение интервальной оценки генерального среднего М для генеральной совокупности с нормальным законом распределения основано на следующем свойстве. Для выборки объема n отношение

подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы ν = n - 1.

Здесь Х - выборочное среднее, а s - выборочное СКО.

Используя таблицы распределения Стьюдента или их компьютерный аналог, можно найти такое граничное значение что c заданной доверительной вероятностью выполняется неравенство:

Этому неравенству соответствует неравенство для М:

где ε - полуширина доверительного интервала.

Таким образом, построение доверительного интервала для М проводится в следующей последовательности.

1. Выбирают доверительную вероятность Р_д (обычно 0,95 или 0,99) и для нее по таблице распределения Стьюдента находят параметр t

2. Рассчитывают полуширину доверительного интервала ε:

3. Получают интервальную оценку генерального среднего с выбранной доверительной вероятностью:

Кратко это записывается так:

Для нахождения интервальных оценок разработаны компьютерные процедуры.

Поясним, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента. Эта таблица имеет два «входа»: левый столбец, называемый числом степеней свободы ν = n - 1, и верхняя строка - уровень значимости α. На пересечении соответствующей строки и столбца находят коэффициент Стьюдента t.

Применим этот метод к нашей выборке. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента представлен ниже.

Таблица 3.3. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента

Простой статистический ряд для выборки из 20 человек (n = 20, ν =19) представлен в табл. 3.1. Для этого ряда расчеты по формулам (3.1-3.3) дают: Х = 37,05; s = 5,02.

Выберем α = 0,05 (Р_д = 0,95). На пересечении строки «19» и столбца «0,05» найдем t = 2,09.

Вычислим точность оценки по формуле (3.6): ε = 2,09?5,02/λ/20 = 2,34.

Построим интервальную оценку: с вероятностью 95% неизвестное генеральное среднее удовлетворяет неравенству:

37,05 - 2,34 < М < 37,05 + 2,34, или М = 37,05 ± 2,34 (м/с), Р_д = 0,95.

3.5. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистические гипотезы

Прежде чем сформулировать, что такое статистическая гипотеза, рассмотрим следующий пример.

Для сравнения двух методик лечения некоторого заболевания были отобраны две группы пациентов по 20 человек, лечение которых проводилось по этим методикам. Для каждого пациента фиксировалось количество процедур, после которого достигался положительный эффект. По этим данным для каждой группы находились выборочные средние (Х ), выборочные дисперсии (s²) и выборочные СКО (s).

Результаты представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Количество процедур, необходимое для получения положительного эффекта, - случайная величина, вся информация о которой на данный момент содержится в приведенной выборке.

Из табл. 3.4 видно, что выборочное среднее в первой группе меньше, чем во второй. Означает ли это, что и для генеральных средних имеет место такое же соотношение: М₁ < М₂? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? Ответы на эти вопросы и дает статистическая проверка гипотез.

Статистическая гипотеза - это предположение относительно свойств генеральных совокупностей.

Мы будем рассматривать гипотезы о свойствах двух генеральных совокупностей.

Если генеральные совокупности имеют известные, одинаковые распределения оцениваемой величины, а предположения касаются величин некоторого параметра этого распределения, то гипотезы называются параметрическими. Например, выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковой дисперсией. Требуется выяснить, одинаковы ли генеральные средние этих совокупностей.

Если о законах распределения генеральных совокупностей ничего не известно, то гипотезы об их свойствах называют непараметрическими. Например, одинаковы ли законы распределения генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки.

Нулевая и альтернативная гипотезы.

Задача проверки гипотез. Уровень значимости

Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез.

• Н₀ - нулевая гипотеза (гипотеза скептика) - это гипотеза об отсутствии различий между сравниваемыми выборками. Скептик считает, что различия между выборочными оценками, полученными по результатам исследований, - случайны;

• Н₁ - альтернативная гипотеза (гипотеза оптимиста) - это гипотеза о наличии различий между сравниваемыми выборками. Оптимист считает, что различия между выборочными оценками вызваны объективными причинами и соответствуют различиям генеральных совокупностей.

Проверка статистических гипотез осуществима только тогда, когда из элементов сравниваемых выборок можно составить некоторую величину (критерий), закон распределения которой в случае справедливости Н₀ известен. Тогда для этой величины можно указать доверительный интервал, в который с заданной вероятностью Р_д попадает ее значение. Этот интервал называют критической областью. Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н₀. В противном случае принимается гипотеза Н₁.

В медицинских исследованиях используют Р_д = 0,95 или Р_д = 0,99. Этим значениям соответствуют уровни значимости α = 0,05 или α = 0,01.

При проверке статистических гипотез уровнем значимости (α) называется вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она верна.

Обратите внимание на то, что по своей сути процедура проверки гипотез направлена на обнаружение различий, а не на подтверждение их отсутствия. При выходе значения критерия за пределы критической области мы можем с чистым сердцем сказать «скептику» - ну что, Вы еще хотите?! Если бы различия отсутствовали, то с вероятностью 95% (или 99%) расчетное значение было бы в указанных пределах. Так ведь нет!..

Ну а если значение критерия попадает в критическую область, то нет никаких оснований считать что гипотеза Н₀ верна. Это, скорее всего, указывает на одну из двух возможных причин.

1. Объемы выборок недостаточно велики, чтобы обнаружить имеющиеся различия. Вполне вероятно, что продолжение экспериментов принесет успех.

2. Различия есть. Но они настолько малы, что не имеют практического значения. В этом случае продолжение экспериментов не имеет смысла.

Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипотез, используемых в медицинских исследованиях.

3.6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ, F-КРИТЕРИЙ ФИШЕРА

В некоторых клинических исследованиях о положительном эффекте свидетельствует не столько величина исследуемого параметра, сколько его стабилизация, уменьшение его колебаний. В этом случае возникает вопрос о сравнении двух генеральных дисперсий по результатам выборочного обследования. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера.

Постановка задачи

Получены две выборки {Х₁} и {Х₂}, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения. Объемы выборок -

₂₂

n₁ и n₂, а выборочные дисперсии равны s₁ и s₂² соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные дисперсии.

Проверяемые гипотезы:

Н₀ - генеральные дисперсии одинаковы;

Н₁ - генеральные дисперсии различны.

Показано, если выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения, то при справедливости гипотезы Н₀ отношение выборочных дисперсий подчиняется распределению Фишера. Поэтому в качестве критерия для проверки справедливости Н₀ берется величина F, вычисляемая по формуле:

22

где ^s1 ^{и s}2 - выборочные дисперсии.

Это отношение подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы числителя ν₁ = n₁ - 1 и числом степеней свободы знаменателя ν₂ = n₂ - 1. Границы критической области находятся по таблицам распределения Фишера или с помощью компьютерной функции БРАСПОБР.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: ν₁ = ν₂ = 20 - 1 = 19; F = 2,16/4,05 = 0,53. При α = 0,05 границы критической области равны соответственно: = 0,40, = 2,53.

Значение критерия попало в критическую область, поэтому принимается гипотеза Н₀: генеральные дисперсии выборок одинаковы.

3.7. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ОТНОСИТЕЛЬНО РАВЕНСТВА СРЕДНИХ, t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА

Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать t-критерий Стьюдента.

Постановка задачи

Получены две выборки {Х₁} и {Х₂}, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями. Объемы выборок - n₁ и n₂, выборочные средние равны Х₁ и Х2, а выборочные дисперсии - s₁² и s₂² соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные средние.

Проверяемые гипотезы:

Н₀ - генеральные средние одинаковы;

Н₁ - генеральные средние различны.

Показано, что в случае справедливости гипотезы Н₀ величина t, вычисляемая по формуле:

распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы ν = ν₁ + + ν2 - 2.

Здесь где ν₁ = n ₁ - 1 - число степеней свободы для первой выборки; ν ₂ = n ₂ - 1 - число степеней свободы для второй выборки.

Границы критической области находят по таблицам t-распределения или с помощью компьютерной функции СТЬЮДРАСПОБР. Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю и противоположны по знаку: -и

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим:

ν₁ = ν₂ = 20 - 1 = 19; ν = 38, t = -2,51. При α = 0,05 = 2,02.

Значения критерия выходит за левую границу критической области, поэтому принимаем гипотезу Н₁: генеральные средние различны. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки МЕНЬШЕ.

Применимость t-критерия Стьюдента

Критерий Стьюдента применим только к выборкам из нормальных совокупностей с одинаковыми генеральными дисперсиями. Если хотя бы одно из условий нарушено, то применимость критерия сомнительна. Требование нормальности генеральной совокупности обычно игнорируют, ссылаясь на центральную предельную теорему. Действительно, разность выборочных средних, стоящая в числителе (3.10), может считаться нормально распределенной при ν > 30. Но вопрос о равенстве дисперсий проверке не подлежит, и ссылки на то, что критерий Фишера не обнаружил различий, принимать во внимание нельзя. Тем не менее t-критерий достаточно широко применяется для обнаружения различий в средних значениях генеральных совокупностей, хотя и без достаточных оснований.

Ниже рассматривается непараметрический критерий, который с успехом используют для этих же целей и который не требует ни нормальности, ни равенства дисперсий.

3.8. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОК: КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ

Непараметрические критерии предназначены для обнаружения различий в законах распределения двух генеральных совокупностей. Критерии, которые чувствительны к различиям генеральных средних, называют критериями сдвига. Критерии, которые чувствительны к различиям генеральных дисперсий, называют критериями масштаба. Критерий Манна-Уитни относится к критериям сдвига и используется для обнаружения различий в средних значениях двух генеральных совокупностей, выборки из которых представлены в ранговой шкале. Измеренные признаки распологаются на этой шкале в порядке возрастания, а затем нумеруются целыми числами 1, 2... Эти числа и называются рангами. Равным величинам присваивают одинаковые ранги. Значение имеет не сама величина признака, а лишь порядковое место, который она занимает среди других величин.

В табл. 3.5. первая группа из таблицы 3.4 представлена в развернутом виде (строка 1), подвергнута ранжированию (стока 2), а затем ранги одинаковых величин заменены среднеарифметическими значениями. Например, элементы 4 и 4, стоящие в первой строке, получили ранги 2 и 3, которые затем заменены на одинаковые значения 2,5.

Таблица 3.5

Постановка задачи

Независимые выборки {Х₁} и {Х₂} извлечены из генеральных совокупностей с неизвестными законами распределения. Объемы выборок n₁ и n₂ соответственно. Значения элементов выборок представлены в ранговой шкале. Требуется проверить, различаются ли эти генеральные совокупности между собой?

Проверяемые гипотезы:

Н₀ - выборки принадлежат к одной генеральной совокупности; Н₁ - выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.

Для проверки таких гипотез применяется {/-критерий Манна-Уитни.

Сначала из двух выборок составляется объединенная выборка {X}, элементы которой ранжируются. Затем находится сумма рангов, соответствующих элементам первой выборки. Эта сумма и является критерием для проверки гипотез.

U = Сумме рангов первой выборки. (3.11)

Для независимых выборок, объемы которых больше 20, величина U подчиняется нормальному распределению, математическое ожидание и СКО которого равны:

Поэтому границы критической области находятся по таблицам нормального распределения.

Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: ν₁ = ν₂ = 20 - 1 = 19, U = 339, μ = 410, σ = 37. Для α = 0,05 получим: и_лев = 338, и_прав = 482.

Значение критерия выходит за левую границу критической области, поэтому принимается гипотеза Н₁: генеральные совокупности имеют различные законы распределения. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки МЕНЬШЕ.