Глава 3. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть заданы два непустых множества D и E. Если каждой паре значений (x, y) из данной области D соответствует определенное единственное значението переменная z называется функцией двух переменных, а x и y называются независимыми переменными, или аргументами. Область D называется областью определения функции, множество

- множеством значений функции. Обозначение функции двух переменных: z = f (x, y), или z = F (x, y), или z = z (x, y).

Частным значением функции z = f (x, y) называют число, соответствующее какой-либо определенной паре значений аргументов.

Для обозначения частного значения функции z = f (x, y) при x = x₀ и

y=y0 употребляется символили, что то же самое,. Каж-

дая пара значений аргументов (x, y) геометрически определяет точку Р на плоскости xOy, а значение функции в этой точке есть аппликата z пространственной точки М (x, y, z). Геометрическое место всех точек М есть поверхность, взаимно однозначно проецирующаяся в область D на плоскости xOy (рис. 3.1). Эта поверхность служит геометрическим изображением (графиком) функции f (x, y).

Определение. Переменная величина U называется функцией независимых переменных если каждой системе значений (x₁, этих переменных из данной области их изменения соответствует единственное значение величины U. Обозначение:

или

и т. д.

В случае функции трех переменных пишуткаж-

Рис. 3.1. Изображение функции двух переменных в трехмерном пространстве

Рис. 3.2. Круговой конус

дая система (x, y, z) значений аргументов определяет некоторую точку М трехмерного пространства.

Пример 1. Выразить объем кругового конуса V как функцию его образующей x и радиуса основания y.

Решение. Объем кругового конуса (рис. 3.2) равен одной трети

произведения площади основания

S на высоту h. Так как S = πy²,

Это и есть искомая функция.

Пример 2. Найти частное значение функциив

точке Р (2; -1). Решение.

3.2. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

Если функция задана аналитическим выражением (формулой) без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают совокупность всех точек, в которых данное аналитическое выражение определено и принимает только действительные значения.

Определение. Область D называется замкнутой, если она включает в себя все свои границы.

Область определения функции трех переменных представляет собой некоторую пространственную область, в частности некоторый объем.

Пример 1. Указать область определения функции, выражающей объем кругового конуса V через образующую х и радиус основания у.

Решение. Функция, найденная в примере 1 предыдущего пункта, выглядит так: По смыслу задачи переменные х и у могут принимать только положительные значения, и при этом всегда х > у, так как гипотенуза больше катета (см. рис. 3.2). Следовательно, область

Рис. 3.3. К задаче о нахождении области определения

определения D задается неравенствами х > 0, у > 0, х > у, т. е. состоит из всех тех точек Р (х, у) первой четверти на плоскости хОу, которые лежат ниже биссектрисы х = у (рис. 3.3). Границами области D служат прямые у = 0, у = х, которые сами в область D не входят, так что эта область незамкнутая.

Пример 2. Найти область определения функции

Решение. Поскольку никаких дополнительных ограничений на аргументы х и у не наложено, область определения D будет состоять из всех тех точек плоскости, для которых данное аналитическое выражение принимает действительные значения. Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т. е. х² - у² > 0 или х² > у².

Если оставить здесь только знак равенства, то получится уравнение границы области D: x² = y² или x = + y. Эта граница состоит из двух биссектрис х = у и х = -у координатных углов. Для внутренних точек области D должно соблюдаться неравенство х > у или | x | > | y |. Следовательно, эти точки расположены между биссектрисами ближе к оси Ох, так как | y | есть расстояние точки Р (х ; у) до оси Ох и оно меньше расстояния | x | точки Р до оси Оу. Таким образом, область D состоит из всех точек двух углов между биссектрисами х = ± у, заключающими внутри себя ось Ох (рис. 3.4). Область замкнутая, так как включает в себя обе свои границы.

Рис. 3.4. Область определения функции

Рис. 3.5. Область определения функции

Замечание. Хотя аналитические выражения функции в примерах 1 и 2 одинаковые, их области определения разные. На переменные х и у в примере 1 были наложены дополнительные условия х > 0, у > 0, х > у, вытекающие из их геометрического смысла.

Пример 3. Найти область определения функции

Решение. Выражение, стоящее справа, теряет смысл при тех значениях х и у, при которых знаменатель обращается в ноль. Отсюда областью определения нашей функции является вся плоскость, из которой выброшена прямая у = 2х (рис. 3.5).

Пример 4. Найти область определения функции

Решение. Для того чтобы квадратный корень имел вещественные значения, его подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решая неравенство (х - 1)(у + 2) > 0, находим, что либо

либо

Решением 1-й системы неравенств является x > 1, y > -2. Чтобы получить изображение искомой области на координатной плоскости, достаточно провести две прямые х = 1 и у = -2. Область состоит из 2-х квадрантов с общей вершиной в точке (1; -2) (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Область определения функции

Пример 5. Найти область определения функции z = ln(9 + 9x - y²).

Решение. Логарифм определен только при положительном значении его аргумента, поэтому 9 + 9х - у² > 0 или 9 + 9х > у². Чтобы изобразить геометрически область D, найдем сначала ее границу 9 + 9х = у² или у² = 9 • (х + 1). Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке О (-1; 0), а ось направлена в положительную сторону оси Ох. Точки пересечения параболы с осью Оу получаются из условия х = 0, откуда у² = 9, т. е. у = ±3 (рис. 3.7). Парабола делит всю плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство у² < 9 • (х + 1), а для другой у² > 9 • (х + 1) (на самой параболе у² = 9 • (х + 1)). Чтобы установить, какая из этих 2-х частей является областью определения данной функции, т. е. удовлетворяет условию у² < 9 • (х + 1), достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе. Например, начало координат (0; 0) лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию 0 < 9 • (0 + 1). Следовательно, рассматриваемая область D состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область D входить не может, поскольку для точек параболы 9 + 9х - у² = 0, и логарифм не определен.

Рис. 3.7. Область определения функции z = ln(9 + 9x - y²)

Самостоятельная работа

1. Выразить площадь треугольника с данным периметром 2р как функцию длин двух его сторон x и y.

2. Выразить объем правильной шестиугольной пирамиды как функцию ее высоты х и бокового ребра y.

3. Найти f(0,5; 1) и f(2; -1), если

Найти области определения функций (4-22).

23. Указать область определения функции, выражающей площадь треугольника с данным периметром через длины двух его сторон.

3.3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 3.3.1. Частные производные

Пусть (x, y) - произвольная фиксированная точка из области определения z = f (x, y). Рассмотрим предел Этот

предел (если он существует) называется частной производной (первого порядка) данной функции z по переменной х в точке (х, у). Производная

обозначается одним из символов:

Аналогично,

Частные производные функции z = f (x, y) сами представляют собой некоторые функции переменных х и у. Поэтому, если нас интересуют значения частных производных в какой-либо точке Р (х, у), надо снача-

ла по общим правилам найти, а затем подставить в полученные

функции координаты точки Значения частных производных в точке Р₀ обозначаются одним из символов:

или

и аналогично - для производных по у.

Таким образом, частная производная функции z = f (x, y) по аргументу х есть производная этой функции по х при постоянном значении у.

Аналогичноесть производная функции z = f (x, y) по у в предположении, что х является константой.

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными. Например, производная функции u = f (x, y, z) по х определяется формулой

Пример 1. Найти частные производные функции z = x³ + y³ - 3axy. Вычислить их значения в точке Р₀ (1; 1).

Решение. Считая у постоянным, находим:

При нахождениификсируется аргумент х, т. е. Значения производных в точке Р₀ (1;1) следующие:

Пример 2. Найти частные производные функции Решение. Находим частные производные, используя формулу дифференцирования сложной функции

Пример 3. Доказать, что функция z = ln(x² + xy + y²) удовлетворяет

уравнению

Решение. Находим частные производные:

Подставляя в данное уравнение:

получим тождество.

3.3.2. Полный дифференциал

Пусть Р (х, у) - данная точка, а- близкая точка,

отвечающая приращениям аргументовПолным приращением

функции z = f (x, y) в точке Р называется разность

Если приращениеможно представить в виде - бесконечно малая более высокого порядка по

сравнению с расстояниеммежду точками Р и Р' (т. е.

при), то функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в

точке Р, а главная линейная часть ее приращенияназы-

вается полным дифференциалом функции в точке Р. Функция, имеющая дифференциал в каждой точке некоторой области D, называется дифференцируемой в этой области.

Если функция дифференцируема, то необходимо, чтобы выполнялось:

Достаточным условием дифференцируемости является наличие непрерывных частных производных. Так как приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами, т. е. то полный дифференциал функции z = f (x, y) вычисляется по формуле:

(3.1)

Последняя формула остается справедливой также и в том случае, когда х и у в свою очередь являются функциями каких-либо других аргументов (свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти полный дифференциал функции z = x²y - y²x.

Решение. Находим частные производные:

По формуле (3.1) имеем:

3.3.3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Приращение функциии ее полный дифференциалсвязаны равенством- бесконечно малая величина более высокого

порядка малости по сравнению спри достаточно малых

приращениях аргументов можно величиной пренебречь и считать

Это приводит к приближенному равенству

или (подробно):

Этой формулой можно пользоваться для приближенного вычисления значенияпо известным значениям функции z = f (x, y)

и ее частных производных в данной точке Р (х, у). Пример 1. Вычислить приближенно число (1,04)^2,03. Решение. Рассмотрим функциюf (x, y) = x^y. Данное число есть приращенное значение этой функции в точке Р₀ (1; 2) при Дифференциал данной функции:

Его значение в точке Р₀ (1; 2) при данных приращениях: поэтому по формуле (3.2) имеем т. е.

Пример 2. Вычислить приближенно

Решение. Рассмотрим функциюДанное число есть

приращенное значение этой функции в точке Р₀ (4; 3) при,

Полный дифференциал данной функции:

Его значение в точке Р₀ (4; 3) при данных приращениях поэтому по формуле (3.2) с учетом равенстваимеем

Итак,

Пример 3. Вычислить приближенно

Решение. Данное число есть приращенное значение этой функции в точке Р₀ (2; 1) приНайдем частные производные

функции f (x, y) их значения в точке Р₀ (2; 1):

Значение функции в точке Р₀ (2; 1) равно

Подставляя найденные значения функции и частных производных в формулу (3.2), получим

Самостоятельная работа

Найти частные производные функций (1-15).

3.4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Частными производными второго порядка функции z = f (x, y) называются частные производные от ее первых производныхт. е.

Частные производные второго порядка обозначаются также символами: Частные производные

второго порядка виданазываются смешанными производ-

ными. Они не зависят от порядка дифференцирования, т. е. равны между собой, если выполняется условие следующей теоремы.

Теорема 3.1. Если функция z = f (x, y) определена в некоторой области D и ее частные производныеопределены и непрерывны в этой области D, то значения смешанной производной не

зависят от порядка дифференцирования, т. е.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков.

Дифференциалы второго, третьего и более высоких порядков от функции z = f (x, y) определяются формуламии

выражаются через частные производные следующим образом:

и т. д.

При этом приращении dx и dy рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от дифференциала первого порядка к дифференциалу более высокого порядка.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции

. Убедиться, что

Решение. Находим сначала частные производные первого порядка:

Дифференцируя каждую из полученных функций по х и у, найдем частные производные второго порядка:

Отсюда видно, что смешанные частные производные

равны. Интересно отметить, что для данной функции производные

иотличаются только знаком, т. е.. Это уравнение на-

зывается уравнением Лапласа. Мы показали, что функция z = ln(x² + y²) есть одно из решений уравнения Лапласа.

Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции z = 3x²y - 2xy + y² - 1.

Решение. Находим частные производные первого и второго порядков:

Следовательно, по формуле (3.3)

Тот же результат можно получить и другим способом. Найдем сначала первый дифференциал данной функции:

Беря дифференциал от dz, найдем d²z, при этом dx и dy надо считать постоянным:

Самостоятельная работа

Найти вторые частные производные функций (1-9).