Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Пусть в момент времени t₀ движущаяся точка занимала на траектории положениеи имела абсциссу х₀, а по прошествии временипереместилась в положениеи имеет абсциссуТаким образом, если за времяточка не меняла направление движения, то |Ax| - путь, пройденный точкой за времяОчевидно, что

Назовем средней скоростью точки за времяотношение.

Определение. Мгновенной скоростью точки в момент времени t_o назовем предел, к которому стремится средняя скорость точки за промежуток времени, когда:

(2.1)

Пример. Точка свободно падает в пустоте. Вычислить скорость точки в произвольный момент t.

Решение. Уравнение свободного движения (падения) в этом случае имеет вид

Тогда по формуле (2.1) находим:

Задача 2 (о проведении касательной к плоскости кривой).

Пусть М₀- некоторая точка данной кривой (рис. 2.2).

Возьмем на этой кривой другую точку М и проведем секущую ММ₀. Пусть теперь точка М приближается вдоль кривой к точке М₀ по любому закону так, что расстояние между этими точками стремится к нулю. Если при этом секущая ММ₀, поворачиваясь вокруг точки будет приближаться к некоторой прямой М₀Т так, что угол между прямыми и будет стремиться к нулю, то прямая называется касательной к данной кривой в точке

Заметим, что не всякая кривая обладает в каждой своей точке касательной. Прямая М₀Т будет касательной к кривой в точке М₀, если секущая ММ₀ всегда стремится в указанном смысле к этой единственной прямой М₀Т, по какому бы закону точка М ни стремилась по кривой к точке М₀.

На рис. 2.3 представлена кривая, не имеющая касательной в точке М₀. Здесь секущая ММ₀ стремится к прямой М₀N, если М → М₀слева. Если же М → М₀ справа, то секущая ММ₀ стремится к другой прямой - М₀L.

Пусть теперь в прямоугольной декартовой системе координат xOy задана кривая своим уравнением y = f (x). Требуется найти касательную к этой кривой в некоторой ее точке М₀ с координатами (x₀; y₀) (рис. 2.4).

Легко написать искомое уравнение касательной, зная угловой коэффициент kо касательной к кривой в точке

Рис. 2.2. Иллюстрация к определению касательной

Рис. 2.3. Пример кривой, не имеющей касательной в точке Мо

Рис. 2.4. Иллюстрация к задаче о проведении касательной к кривой y = f (x) в точке

Возьмем на кривой другую точкуи проведем се-

кущуюПусть- угол наклона этой секущей к оси Ox. Наличие в точке касательнойобразующей с осью Ox уголочевидно, эквивалентно равенствукоторое, в свою очередь, эквивалентно

равенству

Но

и, следовательно, формула (2.2) дает

Значит, уравнение касательной примет вид

Пример. Вычислить угловой коэффициент касательной к кривой у = x³ в точке с абсциссой x_o = 2. Написать уравнение касательной. Решение. По формуле (2.3) находим:

и, следовательно, уравнение касательной:

Заметим, что предел (2.3) имеет ту же структуру, что и предел (2.1). В обоих случаях отыскивается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, вызвавшему это приращение, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

2.1.2. Понятие производной

Пусть у = f (x) определена на некотором промежутке и x_o- некоторая точка этого промежутка. Пусть- приращение к значению аргумента, такое, чтоне выходит за пределы упомянутого промежутка, а- соответствующее приращение функции.

Определение. Если существует то этот предел называется

производной от функции y = f (x) по переменной x в точке х_о (обозначения: или). Итак:

Если предел (2.4) конечен, то производная называется конечной, если же этот предел бесконечен, то- бесконечная производная.

Если же конечная производная существует в каждой точке некоторого множества, то она оказывается функцией от x, заданной на этом множестве.

Пример. Найдем производную у = x² на основании определения производной.

Геометрическая и механическая интерпретации производной

Используя результаты предыдущих пунктов, можно сформулировать следующие два предложения, содержащие механический и геометрический смысл производной.

1. Еслиесть уравнение прямолинейного движения точки, то

производнаяпредставляет собой скорость точки в момент времени t.

Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т. п., также выражается при помощи производной. Поясним это на примерах.

Пример 1. Предположим, что температура тела U есть убывающая функция времени: U = f (t). Пусть t - фиксированный момент времени. Если t получает приращениетемпература U уменьшается натогда отношение представляет собой среднюю скорость охлаждения

тела. Предел этого отношения привыражает

скорость охлаждения тела в данный момент t.

Рис. 2.5. Существование конечной и бесконечной производных: а, б - конечные производные в точке М_о (l - касательная; l не параллельна Oy); в - бесконечная производная в точке

Таким образом, скорость охлаждения тела равна производной температуры тела по времени.

Пример 2. Обозначим через x количество вещества, образовавшегося при химической реакции за промежуток времени t.

Очевидно, x есть функция времени: x = f (t). Если t получает приращението x получает приращениеТогда отношение представляет скорость химической реакции в данный момент t.

Таким образом, скорость химической реакции равна производной реагирующей массы по времени.

2. Производная f '(x) функции у = f (x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.

При этом, если существует касательная, то существует и производная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси Oy, отвечает конечная производная, параллельная оси Oy - бесконечная производная (рис. 2.5).

Дифференцируемость функции в точке

Определение. Если приращение функции y = f (x) в точке x можно представить в форме:

где А не зависит от- бесконечно малая в точке x (см. п. 1.2.1), то

эта функция называется дифференцируемой в точке x. Из последнего равенства следует

Перейдя здесь к пределу приполучим

Итак, если y = f (x) дифференцируема в точке x, то приращение этой функции можно представить в виде

где а - бесконечно малая в точке x.

Отсюда следует, что если функция у = f (x) дифференцируема в точке x, то она обладает в этой точке конечной производной. Справедливо и обратное утверждение.

Другими словами, дифференцируемость функции в точке эквивалентна условию конечности производной f '(x) в этой точке.

Сформулируем связь дифференцируемости и непрерывности.

Теорема 2.1 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в ней. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. из непрерывности не следует дифференцируемость. Для подтверждения сказанного рассмотрим две функции, графики которых представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Функции, не имеющие производной в точке х_о

Обе эти функции непрерывны в точке но не будут дифференцируемы в этой точке. Касательная к графику на рис. 2.6, а в точке с абсциссой х_о параллельна Oy, т. е. функция в этой точке имеет бесконечную производную. График второй функции (рис. 2.6, б) вообще не имеет и производной в точке х_о.

2.1.3. Правила дифференцирования

1. Производная от постоянной величины равна нулю, т. е. если у = C, то у' = о:

2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых:

3. Производная произведения двух функций определяется формулой: Аналогично,

4. Производная частного от деления двух функций определяется формулой:

Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим сложную функцию с одним промежуточным аргументом:предполагая при этом, что функция у дифференцируема по аргументу u, а функция u дифференцируема по аргументу x. Требуется вывести правило дифференцирования этой сложной функции. Эвристические рассуждения, основанные на определении производной (см. также п. 1.2.2), приводят к соотношению

Если учесть, чтопоскольку всякая диффе-

ренцируемая функция непрерывна, отсюда получим

или в других обозначениях

Совершенно аналогично может быть выведено правило дифференцирования сложной функции с двумя промежуточными аргументами:

Пример 1. Из школьного курса математики известны производные функций:

Найти у', если у = sin³5x.

Решение. Производную этой сложной функции будем находить по формуле (2.11). Предположим, что данное у нужно вычислить при конкретном значении x (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Последовательность вычисления функции и ее производной

Таким образом, видно, что нахождение производной идет в порядке, обратном порядку вычисления функции.

Тогда по формуле (2.11) нам остается перемножить результаты, полученные на всех четырех ступенях, и

Пример 2. у = ln sine^3x. Найти у'.

Решение. Действуя в соответствии со схемой, приведенной ранее, найдем

Рассмотрим производную обратной функции.

Предположим, что функция у = f (x) определена, монотонна и дифференцируема в некоторой области, причем производная dy/dx нигде не равна нулю. Наша функция у = f (x) имеет обратную функцию и нам надо получить правило дифференцирования этой функции. Для вывода можно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции с одним промежуточным аргументом. Согласно представлениям о сложной функции функцию у можно рассматривать как сложную функцию от самой себя с промежуточным аргументом x: у = f (x),

На основании правила дифференцирования сложной функции получаем:

Поскольку у'_у = 1, получаем правило дифференцирования обратной функции:

2.1.4. Производные от основных элементарных функций

1. Рассмотрим сначала производную от функции у = ln x:

поскольку (см. п. 1.2.3) Итак,

2. Получим формулу для производной логарифма с произвольным основанием. Формула перехода к другому основанию

где ln a - постоянная. Следовательно,

3. Рассмотрим производную от степенной функции у = хⁿ. Сначала логарифмируем: ln у = п lnx. Дифференцируя и пользуясь

правилом дифференцирования сложной функции, получаем:

Окончательно Итак,

4. Рассмотрим производную от показательной функции у = а^х. Совершенно аналогично предыдущему выводится формула

5. Рассмотрим производные от тригонометрических функций:

с учетом (1.19) и непрерывности функции cos x; Итак,

Совершенно аналогично выводится формула

Перейдем к изложению вопроса о производных от обратных тригонометрических функций у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x.

Функции у = arcsin x соответствует обратная функция x = sin у при условии -

Согласно правилу дифференцирования обратной функции имеем

поскольку (здесь перед корнем выбран знак «+»,

так как cos у > 0 для Итак,

Совершенно аналогично получается формула

Функции у = arctg x соответствует обратная функция x = tg у при условии

Согласно правилу дифференцирования обратной функции имеем Аналогично:

Составим сводную таблицу производных от основных элементарных функций (табл. 2.1).

Таблица 2.1. Производные основных элементарных функций

Полезно также помнить формулу дляТогда

2.1.5. Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Если функция y = f (x) есть произведение нескольких сомножителей, то можно сначала логарифмировать обе части уравнения y = f (x) (например, по основанию затем дифференцировать обе части полученного

равенства:

Отсюда, умножив обе части последнего уравнения на y = f (x), получим искомую производную

Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и, в частности, для дифференцирования показательно-степенной функции y = U^V, где U и V - функции от x.

Пример. Найти производные от функций:

Решение.

1) y = x^x. Сначала логарифмируем: ln y = x ln x. Теперь дифференцируем:На основании формул и правил дифференцирования получаем y'/y = ln x + x • 1/x = ln x + 1. Отсюда y ' = y(ln x + 1) = x^x(ln x + 1).

Самостоятельная работа

Найти производную функции (1-30).

Найти производную сложной функции (31-60).

Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции (61-70).

2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2.2.1. Определение

Согласно определению производной от функции y = f (x) имеем

На основании определения предела (см. п. 1.2.1) это означает, что

Отсюда

Первое слагаемое в правой части этого равенства стремится к нулю, как а второе слагаемое кромесодержит в себе множитель , который тоже стремится к нулю приТаким образом, пер-

вое слагаемое стремится к нулю медленнее второго, и поэтому его называют главной частью приращения функции

Определение. Главная часть приращения функцииравная произведениюназывается дифференциалом первого порядка от функции y = f (x), соответствующим выбранным значениям x и Обозначается так:

Это так называемая первая форма записи дифференциала.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

На схематическом графике функции y = f (x) (рис. 2.8) отмечены две точки: точка А с абсциссой x и точка В с абсциссойПроизводная

от функции y = f (x) в точке А равна угловому коэффициенту касательной к графику y = f (x) в этой точке. Посколькузаключаем, что дифференциал dy равен приращению ординаты касательной к графику y = f (x), соответствующему значениям

Рис. 2.8. Геометрический смысл дифференциала

Каков же механический смысл дифференциала? Если s = f (t) есть путь, пройденный материальной точкой за время t, то, как известно, производная ds/dt есть скорость движения в момент времени t. Тогда дифференциал путиприближенно равен

пути, пройденному материальной точкой от момента времени t до момента времениесли пренебречь изменением скорости движения на этом промежутке времени.

Кроме первой формы записи дифференциала существует и вторая. Дифференциалом аргумента называется дифференциал функции y = x, т. е.Однако на основании первой формы дифференциала имеем

Следовательно,и мы получаем, таким образом, вторую

форму записи дифференциала

Вторая форма дифференциала обладает свойством инвариантности относительно аргумента, т. е. не зависит от того, является ли аргумент x окончательным или промежуточным. Поясним это на примере.

Пример. Требуется вычислить дифференциал функции y = (1 + tg x)⁸.

Решение. Это можно осуществить двумя способами.

1. Найдем y'(x) по правилам дифференцирования сложной функции:

Тогда

2. Введем новую функцию(как

дифференциал функции y = y(u)). Вычислим dU:

Следовательно,

т. е. результат совпадает с результатом, вычисленным по первому способу.

Первая форма дифференциала таким свойством не обладает. Поскольку формально дифференциал отличается от производной лишь множителемили dx, его свойства являются отражением соответствующих свойств производной.

Например,и т. д.

Пользуясь таблицей производных (см. табл. 2.1), мы можем написать таблицу дифференциалов от основных элементарных функций. Аналогично могут быть получены формулы:

2.2.2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Теорема 2.2. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x, причемто приприращениеи дифференциал dy функции являются эквивалентными бесконечно малыми.

На этой теореме и основано применение дифференциала к приближенным вычислениям. Известно, что любую из двух эквивалентных бесконечно малых величин можно приближенно заменить другой. Следовательно:

Абсолютная и относительная погрешности этого равенства могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно маломСтруктура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формула (2.15) широко применяется в приближенных вычислениях.

Пример 1. Дан куб с ребром x = 2 м. Вычислить, на сколько возрастет его объем, если ребро увеличится на 1 см.

Решение. Объем куба V = x³;по условию задачи равно 0,01 м. Точное решение:

Таким образом, объем куба увеличится на 0,120601 м³. Приближенное решение:

Абсолютная погрешность этого результата а относительная погрешность

Пример 2. Вычислить приближенное значение ln 0,9.

Эти результаты подставим в формулу (2.16). Тогда

Пример 3. Приближенно вычислить Решение. Пусть в формуле (2.15)Тогда

Следовательно,

2.2.3. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором промежутке. Тогда производная f '(x) этой функции будет новой функцией от x, заданной на этом промежутке, и может в свою очередь иметь производную. Эту производную называют производной второго порядка и обозначают одним из символов:

Производную от второй производной называют третьей производной и т. д. Вообще,

Пример.

Отметим, что для многочлена степени n все производные, начиная с (n + 1)-го порядка, равны нулю.

Теперь рассмотрим дифференциалы высшего порядка.

Дифференциал функции y = f (x), где x - независимая переменная, определяется формулой- произвольное прира-

щение аргумента x. Зафиксируем dx; тогда dy будет функцией от x. Дифференциал от этой функции называют дифференциалом второго порядка и обозначают d²y или d²f (x).

Поскольку dx зафиксирован (постоянен), то

Аналогично определяются дифференциалы для любого n > 2:

Итак, дифференциал n-го порядка функции равен произведению n-й производной этой функции на n-ю степень дифференциала независимой переменной.

Если имеется сложная функция но теперь ужеявляются функциями от x. Поэтому

при отыскании повторных дифференциалов здесь нельзя выносить du за знак производной, а надо дифференцировать произведение. Формулы для дифференциалов высших порядков сложной функции отличаются от последней формулы, и дифференциалы второго и высших порядков свойством инвариантности по отношению к аргументу уже не обладают.

Самостоятельная работа

1. Найти приращение функции y = x², соответствующее приращениюнезависимой переменной. Вычислитьесли x = 1 и= 0,1.

2. Найти приращениеобъема V шара при изменении радиуса R = 2 на= 0,1. Вычислить

3. Дана функция y = x³ + 2x. Найти значения приращения и его линейной главной части, соответствующие изменению x от x = 2 до x = 2,1.

4. Найти приращение и дифференциал функции y = x² - x при x = 10 и= 0,1. Вычислить абсолютную и относительную ошибки, которые получаются при замене приращения дифференциалом.

5. Вычислить приближенно

6. Сторона квадрата равна 8 см. На сколько увеличится его площадь, если каждую его сторону увеличить на 0,1 см?

7. Вычислить значение дифференциала функции:

1) при изменении

2)при изменении

8. Дана функцияВычислить dy при x = 1 и dx = 0,2.

Вычислить приближенно (9-13).

9. sin 60° 18.

10. arctg 1,02.

11.

12. arcsin 0,4983. 13.

Повторное дифференцирование.

Вычислить производную функции (14-23).

2.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 2.3.1. Касательная и нормаль к плоской кривой

Если плоская кривая, являющаяся графиком функции y = f (x) в декартовой системе координат, имеет в точке M₀ с координатами (x₀; f (x₀)) касательную и нормаль, ни одна из которых не параллельна оси Oy, то их уравнения имеют вид

Направление кривой в каждой точке определяется направлением касательной к ней в этой точке.

Пример. Составить уравнения касательной и нормали: 1)к параболе y = x² - 3x, где x = 1;

2) к окружности x² + y² - 2x + 4y - 3 = 0 в точках пересечения ее с

осью Ox. Решение.

1) y = x² - 3x. Если x = 1, то y = 1 - 3 = -2, y' = 2x - 3. В точке x = 1 y' = 2x - 3.

Уравнение касательной: y + 2 = -1 • (x - 1), или x + y + 1 = 0. Уравнение нормали: y + 2 = x - 1, или y - x + 3 = 0.

2) x² + y² - 2x + 4y - 3 = 0. В точках пересечения с осью Ох y = 0. Значит, x² - 2x - 3 = 0; x₁ = -1; x₂ = 3. Найдем угловые коэффициенты касательных.

В точке (-1; 0)

Уравнение касательной: y = (x + 1), или x - y + 1 = 0. Уравнение нормали: y = -(x + 1), или x + y + 1 = 0. В точке (3; 0)

Уравнение касательной: y = -(x - 3), или x + y - 3 = 0. Уравнение нормали: y = (x - 3), или x - y - 3 = 0.

2.3.2. Скорость изменения переменной величины

Скорость и ускорение прямолинейного движения

Если z есть функция времени t, то скорость ее изменения определяется производной dz/dt.

Если точка движется прямолинейно, то ее скорость υ и ускорение w определяются первой и второй производными от пути s по времени t:

Поясним эти положения примерами.

Пример 1. Зависимость количества Q вещества, получаемого в химической реакции, от времени t определяется формулой Определить скорость реакции.

Решение. Скорость реакции есть производная

Пример 2. Скорость прямолинейного движения тела пропорциональна корню квадратному из пройденного пути. Доказать, что движение происходит под действием постоянной силы.

Решение. По закону Ньютона сила F, вызывающая движение, пропорциональна ускорению:

Согласно условиюОтсюда

Это значит, что действующая сила F постоянная и равна

Самостоятельная работа

1. Найти уравнения касательных и нормалей к гиперболе y² - 2x² = 1 в точках, где x = 2.

Рассмотрим теперь еще два важных приложения производной:

• правило Лопиталя (вычисление пределов с помощью производных);

• исследование функций с помощью производных и построение графиков функций.

2.3.3. Правило Лопиталя

Пусть требуется вычислить пределЕсли f (x) - элементар-

ная функция и а принадлежит области ее определения, то для вычисления этого предела нужно перейти к пределу под знаком функции f (x), что приводит к подстановке в f (x) вместо x предельного значения а:

Если же а не принадлежит области определения функции f (x), то формальное применение правил предельного перехода приводит к одному из следующих символов:

Напоминаем (см. п. 1.2.3), что в этом случае в точке а имеет место неопределенность соответствующего типа, а вычисление предела в этом случае называют раскрытием неопределенности.

Теорема 2.3. Если функциии g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а и при x → a одновременно стремятся к нулю или бесконечности, причемв данной окрестности (исключая,

может быть, саму точку а), то

при условии, что предел в правой части (2.19) существует. (Заметим, что а здесь может быть числом или одним из символов:

Из данной теоремы вытекает следующее практическое правило раскрытия неопределенностей первых двух типов, называемое правилом

Лопиталя: для раскрытия неопределенностей видаилинужно

от предела отношения двух функций перейти к пределу отношения производных. Если отношение производных стремится к некоторому пределу (конечному или бесконечному), то к этому же пределу стремится и отношение функции.

Пример 1. Пример 2.

Может случиться так, что отношение производных снова приведет к неопределенности видаилиТогда, рассматривая производ-

ные как исходные функции, перейдем к пределу отношения вторых производных и т. д.:

Если на некотором шаге мы получим предел, то его значение и будет искомым пределом отношения исходных функций.

Пример 3.

Пример 4.

При применении формулы (2.19) может оказаться, что предел в правой ее части не существует. Это говорит лишь о том, что правило Лопиталя не применимо, и нужно вычислять исходный предел каким-либо другим способом.

Пример 5.

Этот последний предел не существует, так какприпреде-

ла не имеет, поэтому правило Лопиталя не применимо. Вычислим предел иным способом:

Так как

так как x - бесконечно малая приограничена.

К неопределенности видаможно легко свести и другие

виды неопределенностей:

т. е. неопределенность видаможно привести к одной из

стандартных неопределенностей для дальнейшего применения правила Лопиталя;

неопределенности видовраскрываются с по-

мощью основного логарифмического тождества:

Для всех трех рассматриваемых случаев вычисление предела снова приведет к раскрытию неопределенности вида

, о которой мы говорили в первом пункте.

Пример 6. Найти Решение.

Вычисление последнего предела сводится к вычислению предела от его показателя:

Правило Лопиталя часто используется при отыскании асимптот плоских кривых.

Самостоятельная работа

Используя правило Лопиталя, вычислить (1-30).

2.3.4. Отыскание асимптот плоских кривых

Пусть кривая является графиком функции y = f (x). Пусть при

эта кривая неограниченно приближается к некоторой прямой y = kx + b. В этом случае данная прямая называется асимптотой кривой, причем при- наклонной асимптотой (рис. 2.9), а при k = 0 - горизонтальной.

Рис. 2.9. Наклонные асимптоты кривой:

Определение. Прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f (x) приесли

Пусть кривая y = f (x) имеет асимптоту y = kx + b приТогда,

согласно определению, имеет место равенство (2.20). Разделим (2.20) на x:

откуда

из определения также следует, что

Таким образом, если кривая имеет асимптоту y = kx + b при то справедливы равенства (2.20), (2.21), и, наоборот, если выполняются равенства (2.20) и (2.21), то кривая имеет асимптоту y = kx + b.

Те же самые рассуждения справедливы при Заметим, что если, по крайней мере, один из пределов (2.20), (2.21) не существует или бесконечен, то кривая не имеет асимптоты при

Пример 1. Для функциинайти асимптоту.

Решение. Находим асимптоту при

Воспользуемся правилом Лопиталя и получим

Следовательно, данная функция имеет горизонтальную (так как k = 0) асимптоту y = 0. Найдем асимптоту при

т. е. приасимптоты график не имеет.

Пример 2. Для функциинайти асимптоту.

Решение. Здесь

Итак, k = 1, b = 1. Следовательно, график имеет асимптоту y = x + 1, причем как в случаетак и в случае

Пусть a - некоторое число. Если кривая y = f (x) неограниченно приближается к вертикальной прямой x = a прито эта прямая, параллельная оси Oy, называется вертикальной асимптотой (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Вертикальные асимптоты кривой: а - при; б - при

в -

Итак, прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f (x), если выполняется одно из трех условий:

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точкивблизи которых f (x) неограниченно возрастает по модулю.

Тогда прямыебудут

являться вертикальными асимптотами.

Пример 3. Для функции найти асимптоту.

Решение. Точка x = 1 не входит в область определения данной функции. Вычислим пределы:

Следовательно, x = 1 - уравнение вертикальной асимптоты, причем вблизи точки x = 1 функция будет вести себя так, как показано на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Вертикальная асимптота для (схематически)

2.4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

2.4.1. Признак постоянства функции. Признаки возрастания и убывания функций

Теорема 2.4. Для того чтобы функция y = f (x) была постоянна на некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке f ' (x) = 0.

Предположим теперь, чтоТогда можно выделить ин-

тервалы, в которых функция возрастает или убывает (см. п. 1.1.2). Теорема 2.5 (необходимый признак монотонности).

1) Если y = f (x) дифференцируема и возрастает на некотором промежутке, то

2) Если y = f (x) дифференцируема и убывает на некотором промежутке, то

Теорема 2.6 (достаточный признак монотонности).

1) Если на некотором интервале (a; b) f (x) > 0, то f (x) возрастает на (a; b).

2) Если f'(x) < 0 на некотором интервале (a; b), то f (x) убывает на данном интервале.

Ранее мы останавливались на геометрическом смысле производной. Исходя из этого, утверждения теорем 2.5 и 2.6 могут быть проиллюстрированы геометрически. В любой точке промежутка возрастания функции y = f (x) касательная к ее графику образует острый уголс осью Ox (рис. 2.12, а), на промежутке убывания функции уголтупой (рис. 2.12, б). Таким образом, промежутку возрастания функции f (x) соответствует случайа промежутку убывания - случай

Рис. 2.12. Связь между монотонностью функции и углом наклона касательной: а - для возрастающей функции; б - для убывающей функции

Пример. Для функции y = x² - 2x + 1 найти промежутки возрастания и убывания.

Решение. Область определения данной функции: Найдем y' = 2x - 2 = 2(x - 1). Следовательно, y' < 0 при x < 1 и y' > 0 при x > 1.

Таким образом, на интервалефункция убывает, а при

возрастает. В точке x = 1 убывание переходит в возрастание.

2.4.2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума

Функция y = f (x) может убывать или возрастать не во всей своей области определения. Эта область часто распадается на промежутки, в одних из которых функция убывает, в других - возрастает.

Точка отделяющая промежуток возрастания от промежутка убывания и принадлежащая области определения функции, называется точкой экстремума.

Точки экстремума бывают двух типов (рис. 2.13): точки максимума функции, где функция переходит от возрастания к убыванию (точки x₁и и точки минимума (точки x₂ и x₄), где функция переходит от убывания к возрастанию.

Рис. 2.13. Точки экстремума: x₁ и x₃ - точки максимума; x₂ и x₄ - точки минимума

В точках максимума величина f (x) больше, а в точках минимума - меньше, чем во всех соседних достаточно близких точках. Таким образом, логично ввести следующие определения.

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции y = f (x), если для любой точки x, принадлежащей достаточно малой окрестности точки x₀,

и x₀ - точка минимума, если в малой окрестности этой точки

Определение. Значения функции в точках максимума и минимума называются, соответственно, максимальным и минимальным значениями функции.

Отметим, что речь идет о локальных экстремумах, таких как M и m (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Точки экстремума

Таким образом, максимум и минимум функции - это не наибольшее и наименьшее значение функции во всей области определения, а только максимальное или минимальное значения функции по сравнению со значениями функции во всех соседних, близких точках.

Теорема 2.7. Если y = f (x) дифференцируема в точке x⁰ и имеет в этой точке экстремум, то f ' (x₀) = 0.

Эту теорему можно истолковать геометрически, используя вновь смысл производной: если в точке экстремума график функции y = f (x) имеет касательную и эта касательная не параллельна оси Oy (как для точки x₃ на рис. 2.13), то эта касательная обязательно параллельна оси Ox (точки x₁ и x₂ на рис. 2.13).

Рис. 2.15. Кубическая парабола

Кроме точек экстремума, где функция дифференцируема и где, как показано ранее,(точки x₁ и x₂ на рис. 2.13), могут быть такие

точки экстремума, где функция f (x) недифференцируема.

В точке x₃ на рис. 2.13 - максимум (касательная параллельна оси ординат,, в точке x₄ - минимум (касательная к графику вообще не существует).

Из всего сказанного следует практическое правило: точки, в которых функция имеет экстремумы, надлежит искать среди точек, в которых:

1) либо

2) либо

3) либо f' (x) не существует, причем предполагается, что точки эти принадлежат области определения функции.

Точки указанных типов называются критическими точками первого рода.

Отметим, что не в каждой критической точке функция имеет экстремум.

Пример. y = x³. Решение. y' = 3x². Точка x = 0 будет для данной функции критической точкой первого рода, так как y' (0) = 0. Однако в этой точке экстремума нет (рис. 2.15).

Как же решить вопрос о наличии экстремума в критической точке? Ответ на этот вопрос мы найдем в следующем пункте.

2.4.3. Достаточное условие экстремума (по первой производной)

Теорема 2.8. Пусть x₀ будет критической точкой первого рода для функции y = f (x). Тогда, если в окрестности точки x₀ будет меняться знак производной, то точка x₀ - точка экстремума, причем, если знак меняется с «+» на «-», то в точке x0 - максимум, если с «-» на «+», то минимум. Другими словами, если (рис. 2.16)

если (рис. 2.17)

Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 2.6 (так, если при x < x₀ функция возрастает, а при x > x₀ убывает, то в точке x₀функция переходит от возрастания к убыванию, т. е. x₀ - точка максимума).

Заметим, что если при переходе через критическую точку f ' (x) не меняет знака, то в критической точке экстремума нет (см. пример с кубической параболой и рис. 2.18).

Рис. 2.16. Схема нахождения максимума

Рис. 2.17. Схема нахождения минимума

Рис. 2.18. График, иллюстрирующий отсутствие экстремума у кубической параболы

Пример 1. Для функциинайти точки максимума и минимума.

Решение. Функция не определена при x = 2.

Нанесем на ось Ox точки, не принадлежащие области определения функции, а также критические точки первого рода. Тогда ось разобьется на 4 интервала, в каждом из которых исследуем знак у'.

Расставим эти знаки над интервалами. Тогда, согласно изложенной ранее теории, f (x) возрастает при и убывает при

Так как в окрестности точки x₁ = 0 знак y' поменялся с «+» на «-», то x1 = 0 - точка максимума, а в окрестности точки x2 = 4 знак у' изменился с «-» на «+», и, следовательно, x2 = 4 - точка минимума. Тогда

Пример 2. Дано уравнение прямолинейного движения точки x = 6t² - t³ (t - в секундах, x - в метрах). Найти наибольшую скорость точки.

Решение. Скорость точки Исследуем, когда

Итак, нужно найти наибольшее значение функции

Рис. 2.19. Изменения знака производной скорости

На данном промежутке дифференцируема и Найдем критические точки первого рода: т. е. 12 - 6t = 0, откуда t = 2.

Так как в окрестности точки t = 2 изменился знак то в

точке t = 2 - экстремум, причем изменение знака произошло с «+» на «-» и, следовательно, t = 2 - точка максимума (рис. 2.19).

Тогда - максимальное значение скорости.

2.4.4. Выпуклость и вогнутость кривых

Определение. Кривая, являющаяся графиком функции у = f (x), называется выпуклой на некотором промежутке, если она целиком лежит под касательной, проведенной к ней в любой точке этого промежутка (рис. 2.20, а). Кривая называется вогнутой на некотором промежутке, если она целиком лежит над касательной, проведенной к ней в любой точке этого промежутка (рис. 2.20, б).

Если график выпуклый на промежутке, то приращение функции меньше ее дифференциала, а если вогнутый, то, наоборот,

в любой точке x и для произвольногонастолько малого

по модулю, чтобы точкане вышла за пределы рассматриваемого

промежутка.

Рис. 2.20. Характер выпуклости кривых: а - кривая выпукла; б - кривая вогнута

Теорема 2.9. Если функция y = f (x) дважды дифференцируема на некотором промежутке и на данном промежуткето график функции выпуклый, если же, график функции вогнутый на данном промежутке.

Пример. Дано Определить, на каких проме-

жутках функция выпукла, на каких - вогнута. Решение.

Следовательно, согласно последней теоремевыпукла для

x < 0 и вогнута для x > 0.

2.4.5. Точки перегиба графика функции

График функции y = f (x) может быть выпуклым или вогнутым не во всей области определения этой функции. Область определения функции часто распадается на промежутки выпуклости и вогнутости (области I и II на рис. 2.21). Точки, отделяющие друг от друга промежутки выпуклости и вогнутости, называются точками перегиба функции. Геометрически это значит, что кривая лежит над касательной с одной стороны от точки перегиба и под касательной - с другой.

Аналогично определению критической точки первого рода можно ввести определение критической точки второго рода.

Точка x₀, принадлежащая области определения функции, называется критической точкой второго рода, если в этой точке выполняется одно из трех условий:

1) либо

2) либо

3) либоне существует.

Точки перегиба следует искать среди критических точек второго

рода.

Утверждение. Если при переходе через критическую точку второго рода x₀ вторая производная меняет знак, то точка x₀ - точка перегиба.

Рис. 2.21. Точки перегиба как границы промежутков выпуклости и вогнутости

Пример. Дано

Решение.

если- критическая точка второго рода. На ось Ox нанесеми выколем точку- рис. 2.22.

Рис. 2.22. Точки на оси Ox

В каждом из получившихся трех интервалов исследуем знак второй производной и расставим над интервалами соответствующие знаки.

В окрестности точкизнак y" изменился. Следовательно, это

точка перегиба.

Итак, в п. 2.4.1-2.4.5 мы рассмотрели задачи об исследовании функций по первой и второй производным. Теперь объединим эти знания, чтобы строить графики функций.

2.4.6. Полная схема исследования функций с помощью производных и построения графиков

Знание промежутков возрастания (убывания) функции, промежутков выпуклости (вогнутости), точек экстремума, перегиба, а также асимптот позволяет иметь достаточно полное представление о характере поведения функции, что дает возможность построить ее график.

Для построения схематического графика функции удобно придерживаться следующего плана.

1. Выполнить элементарное исследование.

• Установить область определения функции.

• Найти точки пересечения графика с осями координат.

• Исследовать функцию на четность, отметив какую-либо симметрию графика (если она существует).

Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси Ох, а график нечетной функции - относительно начала координат.

2. Найти асимптоты графика (см. п. 2.3.4).

3. Исследовать функцию по первой производной - промежутки монотонности, экстремумы (см. п. 2.4.1-2.4.3).

• Найти y'(x).

• Найти критические точки первого рода.

• На ось Ox нанести точки, не принадлежащие области определения функции (исключив их), а также критические точки первого рода.

Тогда ось Ox разобьется на ряд интервалов. В каждом из интервалов следует определить знак y'(x) (для этого достаточно найти знак y' в любой точке каждого интервала, поскольку внутри любого интервала знак y'(x) не меняется) и отметить полученные результаты над соответствующими интервалами. По знаку y'(x) найти интервалы возрастания и убывания. Выявить точки экстремумов функции (при переходе через такие точки y'(x) меняет знак). Напоминаем, что точки экстремума - это точки, которые обязательно принадлежат области определения функции!

• Вычислить значения функции в точках экстремума.

4. Исследовать функцию по второй производной - характер выпуклости и точки перегиба (см. п. 2.4.4 и 2.4.5).

• Найти y "(x).

• Найти критические точки второго рода.

• На ось Ox нанести точки, не принадлежащие области определения, а также критические точки второго рода.

• В каждом из получившихся интервалов определить знак y "(x).

• Найти точки перегиба (точки, в окрестности которых y "(x) меняет знак).

• Вычислить значения функции в точках перегиба.

5. Построить график по результатам исследования 1-4.

Отметим, что иногда для уточнения вида графика целесообразно вычислить дополнительно еще несколько значений функции в «обыкновенных» точках.

Изложенную схему проиллюстрируем следующим примером:

1. Элементарное исследование.

• Данная функция представляет собой дробь, а, значит, она не определена, если знаменатель x² - x - 2 = 0.

Найдем корни знаменателя: x₁ = -1, x₂ = 2.

Следовательно, область определения функции имеет вид:

• Определим точки пересечения функции с осями координат. Пусть x = 0. Тогда y = -1/2, т. е. точка (0; -1/2) - точка пересечения графика с осью Oy.

Если y = 0, то 1 - 2x = 0 и, следовательно, x = -1/2. Точка (1/2; 0) - пересечение графика с осью Ох.

• Рассмотрим функцию при аргументе (-x):

Очевидно,, а значит, y = f (x) -

функция общего вида, и график ее не обладает симметрией ни относительно точки O (0; 0), ни относительно оси Oy. 2. Асимптоты.

Так как точки x = -1 и x = 2 не принадлежат области определения функции, то следует рассматривать предел функции при стремлении аргумента к данным точкам слева и справа от них.

Итак,

Тогда, по определению вертикальной асимптоты - x = -1 - уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: x = 2, так как

Теперь рассмотрим вопрос о существовании наклонных (горизонтальных) асимптот. Вычислим

(по правилу Лопиталя). Тогда

Итак, примы получим: k = 0, b = 0, и, следовательно, суще-

ствует горизонтальная асимптота y = 0.

Аналогичным образом, при, а значит, y = 0 -

уравнение горизонтальной асимптоты и приНаклонных

асимптот у графика нет.

3. Исследование функции по y'(x). Вычислим y'(x) по правилу дифференцирования дробей:

Приравняем уравнение y'(x) к нулю. Тогда 2x² - 2x + 5 = 0. Но дискриминант этого уравнения отрицателен, и, следовательно, корней нет. Значит, критических точек первого рода нет, и на ось Ox нанесем только те точки, которые не принадлежат области определения функции (рис. 2.23).

В каждом из интервалов рассмотрим знак y'(x) - рис. 2.24. Таким образом, во всех получившихся интервалах функция возрастает, а точек экстремума нет.

Рис. 2.23. Выколотые точки

Рис. 2.24. Знак производной

4. Исследование функции по y"(x). Вычислим

Найдем критические точки второго рода. Определим корни уравнения y "(x) = 0:

Первая скобка равна нулю, если x = 1/2, а вторая в 0 не обращается.

Итак, x = 1/2 - критическая точка второго рода.

Нанесем эту точку, а также точки x = -1 и x = +2 (которые не принадлежат области определения функции) на ось Ох.

Рис. 2.25. Направления выпуклости

Рис. 2.26. График функции

В каждом из полученных интервалов определим знак y "(x), а также направление выпуклости (рис. 2.25).

Итак, функция вогнута при x и выпукла при

Точки x = -1 и x = +2 не являются точками перегиба (они не принадлежат ООФ), а x = 1/2 - точка перегиба. Найдем f (1/2). Построим график y = f (x) - рис. 2.26.