ЛЕКЦИЯ 15 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

В широком смысле «переменным» называют любой ток, который изменяется с течением времени по величине и направлению. В технике переменным называют ток, который изменяется со временем по гармоническому закону. Такой ток мы и будем рассматривать:

Переменный ток представляет собой вынужденные электромагнитные колебания, которые возникают при подключении какоголибо прибора к сети переменного напряжения:

Обычно начало отсчета времени выбирают так, чтобы для напряжения электрической сети начальная фаза была равна нулю. Поэтому в формуле (15.2) нет слагаемого φ₀.

В цепи постоянного тока отношение напряжения к силе тока называется сопротивлением участка цепи (R = U/I). Аналогично вводят понятие сопротивления и для цепи переменного тока. Его величина обозначается буквой Х.

Сопротивление участка цепи в сети переменного тока равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на этом участке к амплитудному значению силы тока в нем:

Максимальное значение переменного тока (I_max) и его начальная фаза (φ₀) зависят от свойств элементов, входящих в электрическую схему прибора. Рассмотрим протекание переменного тока по таким элементам.

15.2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения

Резистором называется проводник, не обладающий индуктивностью и емкостью.

Для всех частот переменного тока, который используется в технике, сопротивление резистора (X_R) остается постоянным и совпадает с его сопротивлением в цепи постоянного тока:

Резистор - единственный элемент, для которого ток и напряжение совпадают по фазе. Для того чтобы показать разность фаз между током и напряжением в общем случае, используют векторную диаграмму, на которой вектор, изображающий амплитудное напряжение (U_max), расположен под углом к оси токов. Угол, который вектор U_max образует с осью токов, показывает, насколько фаза напряжения опережает фазу тока.

Цепь с резистором R и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.1.

Рис. 15.1. Цепь переменного тока с резистором и ее векторная диаграмма

Поскольку ток и напряжение изменяются в одинаковой фазе, векторы U_max и I_max отложены по одной прямой в одном направлении.

В принципе любому переменному току сопутствует электромагнитное излучение. Однако для частот переменного тока, используемых в промышленности, интенсивность такого излучения ничтожно мала, и потерями энергии на электромагнитное излучение пренебрегают. Поэтому работа переменного тока, протекающего через резистор, полностью превращается в его внутреннюю энергию. В связи с этим сопротивление резистора называют активным.

Расчеты показывают, что средняя мощность, выделяемая в резисторе при протекании переменного (гармонического) тока, вычисляется по формулам

Значения переменного тока и напряжения, определяемые формулой (15.7), называются действующими. Существует договоренность

о том, что по умолчанию для цепи переменного тока указывают именно действующие значения. Например, напряжение в бытовой сети переменного тока равно 220 В. Указанное значение 220 В является действующим значением напряжения.

15.3. Конденсатор в цепи переменного тока,

емкостное сопротивление

Включим в цепь переменного напряжения (15.2) конденсатор емкостью С. Вместе с изменением напряжения будет меняться и заряд конденсатора, а в подводящих проводах возникнет ток. Заряд конденсатора связан с напряжением в цепи соотношением (см. формулу 10.16)

Сопротивление конденсатора в цепи переменного тока называют емкостным сопротивлением. Его величину найдем по формулам (15.3, 15.9):

Цепь с конденсатором и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.2.

Рис. 15.2. Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграмма

Поскольку напряжение отстает по фазе от тока на π/2, вектор U_max повернут относительно оси токов по часовой стрелке (в математике это направление считают отрицательным).

15.4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление

Включим в цепь переменного напряжения (15.2) катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Такую катушку называют идеальной. Вследствие самоиндукции в ней возникнет э.д.с., препятствующая изменению тока в цепи.

Поскольку активным сопротивлением катушки мы пренебрегаем, э.д.с. и напряжение одинаковы: ε = U. Используя формулу (10.15) для э.д.с. самоиндукции, получим дифференциальное уравнение для тока

Цепь с катушкой L и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.3.

Рис. 15.3. Цепь переменного тока с катушкой и ее векторная диаграмма

Поскольку напряжение опережает по фазе ток на π/2, то вектор U_max повернут относительно оси токов против часовой стрелки (в математике это направление считают положительным).

При протекании переменного тока по конденсатору и идеальной катушке индуктивности не происходит потерь энергии. Эти элементы половину периода забирают энергию из сети и преобразуют ее в энергию электрического и магнитного поля соответственно. Вторую половину периода энергия поля возвращается в сеть, поддерживая ток. В связи с отсутствием потерь энергии емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивными.

15.5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 15.4). Если на нее подать переменное напряжение (15.2), то ток в цепи будет отставать по фазе от напряжения на некоторый угол φ:

Такая цепь имеет как активное, так и реактивное сопротивления. Поэтому ее сопротивление называют импедансом и обозначают Z.

Импеданс равен отношению амплитудного значения переменного напряжения на концах цепи к амплитудному значению силы тока в ней:

Z = U_max/I_max.

Рис. 15.4. RLC-цепь в сети переменного тока и соответствующая ей векторная диаграмма

RLC-цепь и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.4.

Элементы RLC-цепочки соединены последовательно. Поэтому по ним протекает одинаковый ток, а приложенное напряжение U(t) складывается из напряжений на отдельных участках цепи:

Резонанс напряжений

Если величины L, C и ω подобраны таким образом, что X_c = X_l, то импеданс Z (формула 15.16) имеет минимально возможное значение, равное R (Z = R). При этом амплитуда тока максимальна, а приложенное напряжение и ток изменяются в одной фазе (φ = 0). Данное

явление называется резонансом напряжений. Подставив в условие резонанса (X_C = X_L) выражения (15.11), (15.14), получим формулу для расчета резонансной частоты:

RCR- цепочка

Рассмотрим протекание тока по параллельной RCR-цепочке, которая моделирует проводящие свойства биологической ткани (рис. 15.5). Если ее включить в сеть переменного напряжения (15.2), то по нижнему и верхнему участкам будут протекать токи:

Вектор его амплитуды I равен сумме амплитуд I₁ и I₂, а угол опережения φ показан на рис. 15.5,б.

Приведем без вывода формулу для нахождения импеданса RCR- цепочки:

Рис. 15.5. RCR-цепочка и ее векторная диаграмма

15.6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Дисперсия импеданса. Реография

Импеданс тканей организма

Электрические свойства тканей организма различны. Органические вещества (белки, жиры, углеводы) являются диэлектриками. В состав тканевых жидкостей входят электролиты.

Ткани состоят из клеток, важной частью которых являются мембраны. Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану конденсатору.

В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его близка к нулю.

Таким образом, импеданс тканей определяется только активным и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Величина угла опережения для разных биологических объектов при частоте 1 кГц приводится в таблице.

Эквивалентная электрическая схема тканей

В общем случае органическую ткань можно рассматривать как клетки, находящиеся в проводящей среде (R₁), роль которой играет, например, межклеточная жидкость (рис. 15.6). Клеточные мембраны обладают емкостными свойствами, а электролиты внутри клетки обладают активным сопротивлением (R₂).

Этому представлению соответствует электрическая схема, рассмотренная в разделе 15.5 (см. рис. 15.5). На рисунке 15.7 показана зависимость импеданса от круговой частоты тока, которая получается из формулы (15.19) после подстановки в нее выражения для

Рис. 15.6. Электрические свойства биологических тканей

Рис. 15.7. Зависимость импеданса от частоты для RCR-цепочки

Дисперсия импеданса

Кривая на рис. 15.7 качественно верно описывает изменение импеданса биологической ткани: плавное уменьшение импеданса при росте частоты. Однако для реальных биологических тканей эта зависимость сложнее. На рисунке 15.8 представлен график частотной зависимости импеданса мышечной ткани, полученный экспериментально (масштаб на вертикальной оси - логарифмический).

На графике четко проявляются три интервала частот, в которых величина Z медленнее меняется с частотой по сравнению с общим ходом кривой. Они названы областями α-, β- и γ-дисперсии соответственно. Им соответствуют три области частот: низкие частоты ν < 10 кГц, радиочастоты ν = 0,1-10 МГц, микроволновые частоты ν > 0,1 ГГц.

Наличие областей α-, β- и γ-дисперсии связано с частотной дисперсией диэлектрической проницаемости (ε = f(v)), от которой зависит величина емкости (см. формулу 10.20). На рисунке 15.9 показаны структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани на различных частотах:

- α-дисперсия обусловлена поляризацией целых клеток (1, 2) в результате диффузии ионов, что требует относительно большого времени, поэтому данный механизм проявляется при действии электрического поля низкой частоты (0,1-10 кГц). В этой области емкостное сопротивление мембран велико и преобладают токи, протекающие через растворы электролитов, окружающие фрагменты мембран.

Рис. 15.8. Частотная зависимость импеданса биологической ткани

Рис. 15.9. Структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани

Поляризация клеток - самый медленный процесс среди всех механизмов поляризации. При увеличении частоты поляризация клеток практически полностью прекращается.

- β-дисперсия обусловлена структурной поляризацией клеточных мембран (3), в которой участвуют белковые макромолекулы (4), а на ее верхней границе - глобулярные водорастворимые белки (5), фосфолипиды (6, 7) и мельчайшие субклеточные структуры (8). При этом получаются существенно меньшие значения диэлектрической проницаемости, чем при поляризации целых клеток. Этот механизм поляризации доминирует на частотах 1-10 МГц. При дальнейшем увеличении частоты перестает работать и этот механизм.

- γ-дисперсия обусловлена процессами ориентационной поляризации молекул (9, 10) свободной и связанной воды, а также низкомолекулярных веществ типа сахаров и аминокислот. При этом диэлектрическая проницаемость уменьшается еще больше. Этот механизм поляризации доминирует на частотах выше 1 ГГц.

В частотных диапазонах, соответствующих главным областям дисперсии, происходят наибольшие потери энергии переменного электрического тока (поля). Выделение энергии происходит на том структурном уровне, который отвечает за данную область диспер-

сии. На этом основано действие различных методов физиотерапии с использованием переменных токов и полей.

Импеданс ткани зависит не только от частоты, но и от состояния ткани. Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма. Это используют при пересадке (трансплантации) тканей и органов. Так, например, определение жизнеспособности трансплантата является одной из первоочередных задач офтальмохирургии. Такая оценка нужна и при определении тактики лечения ожогов роговицы, при кератопластике и кератопротезировании на глазах с бельмом (помутнение роговицы глаза), при наблюдении за течением кератита (воспаление роговицы), для определения пригодности консервативного донорского материала.

Реография

Импеданс тканей и органов зависит от их физиологического состояния и от степени наполнения кровеносных сосудов, проходящих в этих тканях. При наполнении ткани кровью во время систолы полное сопротивление ткани уменьшается, а при диастоле увеличивается. Импеданс изменяется в такт с работой сердца. Это используется в диагностических целях.

Реография - диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности.

Эти изменения представляются в виде реограммы. Пример реограммы голени здорового человека представлен на рис. 15.10.

Рис. 15.10. Реограмма голени здорового человека

При наполнении сосудов кровью величина электропроводимости тканей изменяется, а вместе с ней изменяется и величина импеданса.

По скорости изменения полного сопротивления можно судить о быстроте притока крови при систоле и оттока крови во время диастолы.

С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени, конечностей. Исследование реограмм применяют в диагностике заболеваний периферических кровеносных сосудов, сопровождающихся изменением их эластичности, сужением артерий и т.д.

15.7. Основные понятия и формулы

Окончание таблицы

15.8. Задачи

1. Напряжение и сила тока в цепи изменяются по закону U = 60sin(314t + 0,25) мВ, i = 15sin(314t) мА. Определить импеданс цепи Z и фазовый угол между током и напряжением.

2. Допустимо ли в цепь переменного тока напряжением 220 В включать конденсатор, напряжение пробоя для которого равно 250 В?

5. Частота переменного тока равна 50 Гц. Сколько раз за секунду напряжение равно нулю?

Ответ: 100 раз.

6. Найти полное сопротивление переменному току, если последовательно включены:

а) резистор сопротивлением R₁ = 3 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X_L = 4 Ом;

б) резистор сопротивлением R₂ = 6 Ом и конденсатор с емкостным сопротивлением X_C = 8 Ом;

в) резистор сопротивлением R₃ = 12 Ом, конденсатор емкостным сопротивлением X_C = 8 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X_L = 24 Ом.

Ответ: а) 5 Ом; б) 10 Ом; в) 20 Ом.

7. Сколько времени будет гореть неоновая лампочка, если ее на 1 минуту подключить в сеть переменного тока с действующим напряжением 120 В и частотой 50 Гц. Лампочка зажигается и гаснет при напряжении 84,5 В.

График зависимости U(t) представлен на рис. 15.11.

Рис. 15.11.

На графике обозначено напряжение зажигания лампы U_з и соответствующие ему два момента времени: t₁ - время зажигания

лампы, когда мгновенные значения напряжения становятся больше U_з; t₂ - время, когда лампочка гаснет, так как мгновенные значения напряжения становятся меньше напряжения U_з.Очевидно, что длительность одной вспышки

В течение одного колебания напряжения лампочка загорается 2 раза, так как работа неоновой лампы не зависит от полярности приложенного напряжения (см. рис. 15.11). Поэтому число колебаний напряжения за время t₀ равно (t₀- ν), а число вспышек за это время h = 2t₀ ? v.

Тогда время, в течение которого светится лампа, равно

8. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с действующим значением 71 В и периодом 0,02 с. Напряжение зажигания лампы, равное 86,7 В, считать равным напряжению гашения. Найти: а) значение промежутка времени, в течение которого длится вспышка лампы; б) частоту вспышек.